Question

如圖，拋物線y=kx²-2kx-3k交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知OC=OB．
（1）求拋物線解析式；
（2）在直線BC上求點(diǎn)P，使PA+PO的值最��；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QBC的面積等于6？若存在，請求出Q的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0可得A，B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)OC=OB求出k即可得拋物線解析式；
（2）作O的關(guān)于BC的對稱點(diǎn)O′，連接AO′與BC交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PO的值最小，先求出AO′所在的直線與BC所在直線聯(lián)立可求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在y軸上取一點(diǎn)E（0，1），過點(diǎn)E作ED⊥BC于點(diǎn)D，則△CBE的面積等于6，過點(diǎn)E作EQ平行于BC，交拋物線于點(diǎn)Q，運(yùn)用直線EQ的解析式與拋物線聯(lián)立求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，注意BC下面的另一條與拋物線組成的方程無實(shí)根，沒有交點(diǎn)．

解答：解：（1）∵拋物線y=kx²-2kx-3k，
令y=0得0=kx²-2kx-3k，即0=x²-2x-3，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
令x=0得y=-3k，
∴點(diǎn)C（0，-3k），
∵OC=OB，
∴3k=3，解得k=1，
∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3，
（2）如圖1，作O的關(guān)于BC的對稱點(diǎn)O′，連接O′C，O′B，連接AO′與BC交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PO的值最小

∵OC=OB，OO′⊥BC，
∴BC被OO′平分，
∴四邊形OBO′C是正方形，
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（3，-3），
∵A（-1，0），設(shè)AO′所在的直線的解析式為y=kx+b，
∴

0=-k+b -3=3k+b

，解得

k=- 3 4 b=- 3 4

，
∴AO′所在的直線的解析式為y=-

3

4

x-

3

4

，
由B（3，0），C（0，-3）得BC所在直線的解析式為y=x-3．
∴聯(lián)立組成方程組

y=- 3 4 x- 3 4 y=x-3

，解得

x= 9 7 y=- 12 7

，
∴直線AO′與直線BC的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

7

，-

12

7

），
（3）存在
如圖2，

∵△QBC的面積等于6，
∴△QBC的面積=

1

2

BC•h，
∵OC=OB=3
∴BC=3

2

，
∴h=6×2÷3

2

=2

2

．
∵∠OCB=45°，
∴在y軸上取一點(diǎn)E（0，1），過點(diǎn)E作ED⊥BC于點(diǎn)D，則△CBE的面積等于6，過點(diǎn)E作 EQ平行于BC的平行線y=x+1，交拋物線于點(diǎn)Q，
由

y=x2-2x-3 y=x+1

，解得

x=-1 y=0

或

x=4 y=5

，
∴Q（-1，0）或（4，5）
同理當(dāng)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-7）時(shí)直線解析式為：y=x-7，
由

y=x2-2x-3 y=x-7

，得x²-3x+4=0，△＜0，方程無實(shí)根．
綜上存在點(diǎn)Q（-1，0）或（4，5），使△QBC面積等于6．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題求解．