Question

（2013•道外區(qū)三模）如圖，點l是△ABC的內(nèi)心，線段AI的延長線交△ABC外切圓于點D，交BC邊于點E．
（1）求證：lD=BD．
（2）若

BE

AB

=

2

3

，lE=2，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)心得出∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，推出弧BD=弧CD，得出∠DBC=∠CAD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DBI=∠DIB，根據(jù)等腰三角形判定推出即可．
（2）證△BDE∽△ADB，得出比例式

DE

BD

=

BD

AD

=

BE

AB

=

2

3

，設(shè)DE=2a，則BD=3a，求出AD=

9

2

a，根據(jù)IE=ID-DE=3a-2a=2求出a=2，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∴弧BD=弧CD，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠BAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠DIB
即∠DBI=∠DIB，
∴ID=BD．

（2）解：∵∠DBC=∠CAD，
 又∵∠BAD=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB
∴

DE

BD

=

BD

AD

=

BE

AB

=

2

3

，
設(shè)DE=2a，則BD=3a，
則AD=

9

2

a
∵ID=BD，
∴IE=ID-DE=3a-2a=2，
∴a=2，
∴AD=9．

點評：本題考查了三角形內(nèi)心，三角形外接圓和外心，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應用，綜合性比較強，有一定的難度．