Question

已知拋物線y=（k-1）x²+（2+4k）x+1-4k過(guò)點(diǎn)A（4，0）．
（1）試確定拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在y軸上確定一點(diǎn)P，使線段AP+BP最短，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M為線段AP的中點(diǎn)，試判斷點(diǎn)B與以AP為直徑的⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得出k值以及點(diǎn)B坐標(biāo)．
（2）由題意可得點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的坐標(biāo)A′，易求解析式．
（3）本題要靠輔助線的幫助．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，得出E為OA的中點(diǎn)，求出AP的長(zhǎng)度，則可判斷．

解答：解：（1）所求拋物線的解析式為：y=-

3

4

x²+3x=-

3

4

（x-2）²+3．
頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．

（2）∵y=-

3

4

x²+3x，
∴y=0時(shí)，解得x=4或0，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），
∴關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-4，0）．
則直線A'B與y軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．
設(shè)直線A'B的解析式為y=

1

2

x+2．
∴P的坐標(biāo)為（0，2）．

（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，則BE∥OP．
由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)E為OA的中點(diǎn)．
直線BE與AP的交點(diǎn)就是AP的中點(diǎn)M．
AP=2

5

，⊙M的半徑R=

5

BM=3-1=2＜

5

，
∴點(diǎn)B在⊙M的內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的相關(guān)知識(shí)以及二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，難度中等．