Question

4．如圖，已知拋物線y₁=-x²+4x和直線y₂=2x．我們約定：當(dāng)x任取一值時(shí)，若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；若y₁=y₂，記M=y₁=y₂．下列判斷：①當(dāng)x＞2時(shí)，M=y₂；②當(dāng)x＜0時(shí)，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，則x=1．其中正確的說(shuō)法有②③．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確說(shuō)法的番號(hào)）

Answer 1

分析 若y₁=y₂，記M=y₁=y₂．首先求得拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象可得當(dāng)x＞2時(shí)，利用函數(shù)圖象可以得出y₂＞y₁；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)x＜0時(shí)，利用函數(shù)圖象可以得出y₂＞y₁；然后根據(jù)當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；即可求得答案．

解答 解：∵當(dāng)y₁=y₂時(shí)，即-x²+4x=2x時(shí)，
解得：x=0或x=2，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，利用函數(shù)圖象可以得出y₂＞y₁；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)x＜0時(shí)，利用函數(shù)圖象可以得出y₂＞y₁；
∴①錯(cuò)誤；

∵拋物線y₁=-x²+4x，直線y₂=2x，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正確；

∵拋物線y₁=-x²+4x的最大值為4，故M大于4的x值不存在，
∴③正確；

∵如圖：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y₁＞y₂；
當(dāng)M=2，2x=2，x=1；
x＞2時(shí)，y₂＞y₁；
當(dāng)M=2，-x²+4x=2，x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$（舍去），
∴使得M=2的x值是1或2+$\sqrt{2}$，
∴④錯(cuò)誤；
∴正確的有②③兩個(gè)．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用．注意掌握函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．