Question

有一系列等式：

1×2×3×4+1=5²=（1²+3×1+1）²2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）²3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²…

（1）根據(jù)你的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出8×9×10×11+1的結(jié)果　　

（2）試猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一個數(shù)的平方，并予以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：

完全平方公式．.

專題：

規(guī)律型．

分析：

（1）根據(jù)規(guī)律列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；

（2）觀察規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)，四個連續(xù)自然數(shù)的乘積與1的和等于第一個數(shù)的平方，加上前第一個數(shù)的3倍再加上1然后平方．

解答：

解：（1）根據(jù)觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，得到8×9×10×11+1=（8²+3×8+1）²=89²；

故答案為：89²；

（2）依此類推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²，

理由如下：等式左邊=（n²+3n）（n²+3n+2）+1=n⁴+6n³+9n²+2n²+6n+1=n⁴+6n³+11n²+6n+1，

等式右邊=（n²+3n+1）²=（n²+1）²+2•3n•（n²+1）+9n²=n⁴+2n²+1+6n³+6n+9n²=n⁴+6n³+11n²+6n+1，

左邊=右邊．

點(diǎn)評：

此題考查了完全平方公式，仔細(xì)觀察題目信息，得到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵，利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算時較為復(fù)雜，要仔細(xì)運(yùn)算．