【題目】問題背景
在數(shù)學(xué)活動課上,張老師要求同學(xué)們拿兩張大小不同的矩形紙片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換探究活動.如圖1,在矩形紙片ABCD和矩形紙片EFGH中,AB=1,AD=2,且EF>AD,F(xiàn)G>AB,點E是AD的中點,矩形紙片EFGH以點E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生怎樣的數(shù)量關(guān)系,提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題并加以解決.
解決問題
下面是三個學(xué)習(xí)小組提出的數(shù)學(xué)問題,請你解決這些問題.
(1)“奮進(jìn)”小組提出的問題是:如圖1,當(dāng)EF與AB相交于點M,EH與BC相交于點N時,求證:EM=EN.
(2)“雄鷹”小組提出的問題是:在(1)的條件下,當(dāng)AM=CN時,AM與BM有怎樣的數(shù)量關(guān)系,說明理由.
(3)“創(chuàng)新”小組提出的問題是;若矩形EFGH繼續(xù)以點E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠AEF=60°時,請你在圖2中畫出旋轉(zhuǎn)后的示意圖,并求出此時EF將邊BC分成的兩條線段的長度.
【答案】
(1)
解:如圖1,過點E作EP⊥BC,垂足為點P,
則四邊形ABPE是矩形,
∴PE=AB=1,∠AEP=90°,
∵點E是AD的中點,
∴AE=DE= AD=1,
∴PE=AE,
∵∠MEN=∠AEP=90°,
∴∠MEN﹣∠MEP=∠AEP﹣∠MEP,
∴∠PEN=∠AEM,
∵PE=AE,∠EPN=∠EAM=90°,
∴△PEN≌△AEM,
∴EM=EN
(2)
解:由(1)知,△PEN≌△AEM,
∴AM=PN,
∵AM=CN,
∴PN=CN= PC,
∵四邊形EPCD是矩形,
∴PC=DE=1,PN=CN= ,
∴AM=PN= ,BM=AB﹣AM= ,
∴AM=BM
(3)
解:如圖2,
當(dāng)∠AEF=60°時,
設(shè)EF與BC交于M,EH與CD交于N,過點E作EP⊥BC于P,連接EC,
由(1)知,CP=EP=1,AD∥BC,
∴∠EMP=∠AEF=60°,
在Rt△PEM中,PM= = ,
∴BM=BP﹣PM=1﹣ ,CM=PC+PM=1+ ,
∴EF將邊BC分成的兩條線段的長度為1﹣ ,1+ .
【解析】(1)先判斷出PE=AE,再判斷出∠PEN=∠AEM,進(jìn)而得到△PEN≌△AEM,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出PN=CN= PC,進(jìn)而求出PN=CN= ,再判斷出AM=PN,即可得出BM= ,結(jié)論得證;(3)在直角三角形PEM中,求出PM,再用線段的和差即可得出結(jié)論.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD,點E在CB的延長線上,聯(lián)結(jié)AE、DE,DE與邊AB交于點F,F(xiàn)G∥BE且與AE交于點G.
(1)求證:GF=BF.
(2)在BC邊上取點M,使得BM=BE,聯(lián)結(jié)AM交DE于點O.求證:FOED=ODEF.
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【題目】操作:“如圖1,P是平面直角坐標(biāo)系中一點(x軸上的點除外),過點P作PC⊥x軸于點C,點C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q.”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換.
(1)點P(a,b)經(jīng)過T變換后得到的點Q的坐標(biāo)為 ;若點M經(jīng)過T變換后得到點N(6,﹣ ),則點M的坐標(biāo)為 .
(2)A是函數(shù)y= x圖象上異于原點O的任意一點,經(jīng)過T變換后得到點B.
①求經(jīng)過點O,點B的直線的函數(shù)表達(dá)式;
②如圖2,直線AB交y軸于點D,求△OAB的面積與△OAD的面積之比.
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【題目】北京市2009﹣2014年軌道交通日均客運量統(tǒng)計如圖所示.根據(jù)統(tǒng)計圖中提供的信息,預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運量約 萬人次,你的預(yù)估理由是 .
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=kx+b(k≠0)與雙曲線y=的一個交點為P(2,m),與x軸、y軸分別交于點A,B.
(1)求m的值
(2)若PA=2AB,求k的值.
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【題目】在正方形ABCD中,BD是一條對角線,點P在射線CD上(與點C、D不重合),連接AP,平移△ADP,使點D移動到點C,得到△BCQ,過點Q作QH⊥BD于H,連接AH,PH.
(1)若點P在線段CD上,如圖1.
①依題意補(bǔ)全圖1;
②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明;
(2)若點P在線段CD的延長線上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的邊長為1,請寫出求DP長的思路.(可以不寫出計算結(jié)果)
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【題目】如圖所示,在△ABC中,BO、CO是角平分線.
(1)∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠BOC的度數(shù),并說明理由.
(2)題(1)中,如將“∠ABC=50°,∠ACB=60°”改為“∠A=70°”,求∠BOC的度數(shù).
(3)若∠A=n°,求∠BOC的度數(shù).
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【題目】霧霾天氣已經(jīng)成為人們普遍關(guān)注的話題,霧霾不僅僅影響人們的出行,還影響著人們的健康,太原市會持續(xù)出現(xiàn)霧霾天氣嗎?在2016年2月周末休息期間,某校九年級1班綜合實踐小組的同學(xué)以“霧霾天氣的主要成因”為主題,隨機(jī)調(diào)查了太原市部分市民的觀點,并對調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了整理,繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表,觀察并回答下列問題:
類別 | 霧霾天氣的主要成因 | 百分比 |
A | 工業(yè)污染 | 45% |
B | 汽車尾氣排放 | m |
C | 城中村燃煤問題 | 15% |
D | 其他(綠化不足等) | n |
(1)請你求出本次被調(diào)查市民的人數(shù)及m,n的值,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)若太原市有300萬人口,請你估計持有A,B兩類看法的市民共有多少人?
(3)學(xué)校要求小穎同學(xué)在A,B,C,D這四個霧霾天氣的主要成因中,隨機(jī)抽取兩項作為課題研究的項目進(jìn)行考察分析,請用畫樹狀圖或列表的方法,求出小穎同學(xué)剛好抽到B(汽車尾氣排放),C(城中村燃煤問題)的概率.(用A,B,C,D表示各項目)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點E為正方形ABCD中AD邊上的一個動點,AB=16,以BE為邊畫正方形BEFG,邊EF與邊CD交于點H.
(1)當(dāng)E為邊AD的中點時,求DH的長;
(2)當(dāng)tan∠ABE= 時,連接CF,求CF的長;
(3)連接CE,求△CEF面積的最小值.
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