在平面直角坐標中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,點O在原點.現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn),當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=x于點M,BC邊交x軸于點N(如圖1).
(1)求邊AB在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;
(2)設(shè)△MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值是否有變化?請證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)MN=m,當m為何值時△OMN的面積最小,最小值是多少?并直接寫出此時△BMN內(nèi)切圓的半徑.
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分析:(1)S=S△OAB+S扇形OBB′-S△OAA′-S扇形OAA′,根據(jù)公式即可求解.
(2)延長BA交y軸于E點,可以證明:△OAE≌△OCN,△OME≌△OMN證得:OE=ON,AE=CN,MN=ME=AM+AE=AM+CN.從而求得:P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2.即可求解.
(3)Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,所以(1-n)2+(1-m+n)2=m2?m2-mn+2-m=0.把這個方程看作關(guān)于n的方程,根據(jù)一元二次方程有解得條件,即可求得.
解答:解:(1)如圖,S=S△OAB+S扇形OBB'-S△OA'B′-S扇形OAA'
=S扇形OBB′-S扇形OAA′=
45
360
π(
2
)
2
-
45
360
π×12=
π
8
(6分)
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(2)p值無變化(7分)
證明:延長BA交y軸于E點,
在△OAE與△OCN中,
∠AOE=∠CON=90°-∠AON
∠OAE=∠OCN=90°
OA=OC

∴△OAE≌△OCN(AAS)
∴OE=ON,AE=CN(8分)
在△OME與△OMN中,
OE=ON
∠MOE=∠MON=45°
OM=OM

∴△OME≌△OMN(SAS)
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN(9分)
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2;

(3)設(shè)AM=n,則BM=1-n,CN=m-n,BN=1-m+n,
∵△OME≌△OMN,
∴S△MON=S△MOE=
1
2
OA×EM=
1
2
m(11分)
在Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2
∴(1-n)2+(1-m+n)2=m2?n2-mn+1-m=0
∴△=m2-4(1-m)≥0?m≥2
2
-2或m≤-2
2
-2,
∴當m=2
2
-2時,△OMN的面積最小,為
2
-1.
此時n=
2
-1,
則BM=1-n=2-
2
,BN=1-m+n=2-
2
,
∴Rt△BMN的內(nèi)切圓半徑為
BM+BN-MN
2
=3-2
2
點評:本題綜合運用了扇形的面積公式,全等三角形的判定,三角形的面積公式以及勾股定理的綜合應(yīng)用,難度較大.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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27、如圖(1),在正方形ABCD中,E是AB上一點,F(xiàn)是AD延長線上一點,且DF=BE.容易證得:CE=CF;
(1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°.試猜想GE、BE、GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)運用(1)中解答所積累的經(jīng)驗和知識,完成下面兩題:
①如圖(2),在四邊形ABCD中∠B=∠D=90°,BC=CD,點E,點G分別是AB邊,AD邊上的動點.若∠BCD=α°,∠ECG=β°,試探索當α和β滿足什么關(guān)系時,圖(1)中GE、BE、GD三線段之間的關(guān)系仍然成立,并說明理由.
②在平面直角坐標中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,點O在原點.現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn),當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=x于點M,BC邊交x軸于點N(如圖(3)).設(shè)△MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值是否有變化?請證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

在平面直角坐標中,邊長為2的正三角形OAB的頂點A在y軸正半軸上,點O在原點.現(xiàn)將正三角形OAB繞O點順時針旋轉(zhuǎn),當A點第一次落在直線y=
3
x
上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=
3
x
于點M,點B在x軸投影為N(如圖).求:
(1)初始狀態(tài)時直線AB的解析式;
(2)OA邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;
(3)△OMN從開始運動到到停止狀態(tài)前后面積比.

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在平面直角坐標中,邊長為2的正三角形OAB的頂點A在y軸正半軸上,點O在原點.現(xiàn)將正三角形OAB繞O點順時針旋轉(zhuǎn),當A點第一次落在直線數(shù)學公式上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線數(shù)學公式于點M,點B在x軸投影為N(如圖).求:
(1)初始狀態(tài)時直線AB的解析式;
(2)OA邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;
(3)△OMN從開始運動到到停止狀態(tài)前后面積比.

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科目:初中數(shù)學 來源:2012年河南省中考數(shù)學押題試卷(四)(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標中,邊長為2的正三角形OAB的頂點A在y軸正半軸上,點O在原點.現(xiàn)將正三角形OAB繞O點順時針旋轉(zhuǎn),當A點第一次落在直線上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線于點M,點B在x軸投影為N(如圖).求:
(1)初始狀態(tài)時直線AB的解析式;
(2)OA邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;
(3)△OMN從開始運動到到停止狀態(tài)前后面積比.

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