Question

12．如圖，拋物線y=ax²-3ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)G，已知B（4，0），tan∠OAC=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將∠CAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊AB旋轉(zhuǎn)后與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，邊AC旋轉(zhuǎn)后與拋物線相交于點(diǎn)E，與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)F恰好為BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)D坐標(biāo)；
②當(dāng)AG=DG時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出對(duì)稱軸后求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)tan∠CAO=2求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后把B、C代入拋物線解析式即可解決問題．
（2）①在RT△ACF中利用勾股定理求出線段AF，CF，再利用△CAF∽△GAD列出比例式即可解決問題．
②求出直線AM，解方程組求交點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 （1）解：∵對(duì)稱軸x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$，點(diǎn)B坐標(biāo)（4，0），
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（1，0），
∵tan∠CAO=2，
∴CO=2AO=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，2），
把B、C坐標(biāo)代入y=ax²-3ax+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a-12a+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
（2）①如圖1中，設(shè)AF=FB=x，
在RT△ACF中，∵AC²+CF²=AF²，
∵AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴5+（2$\sqrt{5}$-x）²=x²，
∴x=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴AF=BF=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，CF=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∵AC²+BC²=5+20=25，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠AGD，
∵∠CAF=∠GAD，
∴△CAF∽△GAD，
∴$\frac{AC}{AG}=\frac{CF}{GD}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{\frac{5}{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{4}}{DG}$，
∴DG=$\frac{15}{8}$，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．
②如圖2中，∵AG=GD，∠AGD=90°，
∴∠GAD=∠GDA=45°，
∴∠CAM=∠GAD=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠CMA=45°，
∴AC=CM=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴CM=BM，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），
∴直線AM為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，利用相似三角形是解決問題的關(guān)鍵，記住求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解方程組，屬于中考?jí)狠S題．