Question

點P是等邊三角形ABC內部一點，PA=3，PB=4，PC=5，則三角形ACP的面積是

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質,等邊三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理

專題：

分析：作出圖形，把△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACD，根據(jù)旋轉的性質可得AD=PA，CD=PB，然后判斷出△APD是等邊三角形，利用勾股定理逆定理判斷出△PCD是直角三角形，然后求出∠ADC=150°并求出四邊形APCD的面積，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于E，求出∠CDE=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CE=

1

2

CD，再求出△ACD的面積，然后求解即可．

解答：解：如圖，把△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACD，
則AD=PA=3，CD=PB=4，
∴△APD是等邊三角形，
∴PD=PA=3，
∵PD²+CD²=3²+4²=25，
PC²=5²=25，
∴PD²+CD²=PC²，
由勾股定理逆定理得，△PCD是直角三角形，
∴∠ADC=150°，
S_{四邊形APCD}=S_△APD+S_△PCD=

1

2

×3×（3×

3

2

）+

1

2

×3×4=

9 3

4

+6，
過點C作CE⊥AD交AD的延長線于E，
則∠CDE=180°-∠ADC=180°-150°=30°，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

×4=2，
∴S_△ACD=

1

2

AD•CE=

1

2

×3×2=3，
∴S_△ACP=S_{四邊形APCD}-S_△ACD=

9 3

4

+6-3=

9 3

4

+3．
故答案為：

9 3

4

+3．

點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理逆定理的應用，利用旋轉作輔助線構造成等邊三角形和直角三角形是解題的關鍵，難點在于考慮到并求出點C到AD的距離．