Question

15．如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分別為點A、點D，連接EC，F(xiàn)為線段EC的中點，連接DF、AF，則下列說法：①DF⊥AF；②DF=AF；③DF=BE，其中正確的有（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①②正確，連接BF，延長DF交AC于點G，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEF=∠DBF，可證得DG∥BC，得出△ADG為等腰在角形，再證明△DEF≌△GFC得DF=FG，根據(jù)三線合一即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接BF，延長DF交AC于點G，
∵∠EBD=∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
在RT△EBC中，F(xiàn)為斜邊中點，
∴BF=EF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠DFE=∠DFB，
∵∠EFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠DFE+∠DFB=∠FBC+∠FCB，
∴2∠DFB=2∠FBC，
則∠DFB=∠FBC，
∴DG∥BC，
∵△BAC為等腰直角三角形，且DG∥BC，AB=AC，
∴AD=AG，BD=CG，
∵BD=DE，
∴DE=CG，
∵∠BDE=∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEF=∠GCF，
在△DEF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=CF}\\{∠DEF=∠GCF}\\{DE=CG}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△GCF（SAS），
∴DF=FG，
∵△DAG為等腰直角三角形，
∴AF⊥DG，AF=DF．
∵BE=$\sqrt{2}$BD，DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，
如圖BE=DF那么AD=2BD，顯然與條件不符合．
故①②正確，
故選A．

點評 本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，證得△ADG為等腰三角形．