Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將一點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如（﹣3，5）與（5，﹣3）是一對“互換點”．
（1）任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數(shù)的圖象上？為什么？
（2）M、N是一對“互換點”，若點M的坐標(biāo)為（m，n），求直線MN的表達式（用含m、n的代數(shù)式表示）；
（3）在拋物線y=x2+bx+c的圖象上有一對“互換點”A、B，其中點A在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上，直線AB經(jīng)過點P（ ， ），求此拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：不一定，

設(shè)這一對“互換點”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．

①當(dāng)ab=0時，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，

②當(dāng)ab≠0時，由 可得 ，即（a，b）和（b，a）都在反比例函數(shù) （k≠0）的圖象上；

（2）解：由M（m，n）得N（n，m），設(shè)直線MN的表達式為y=cx+d（c≠0）．

則有 解得 ，

∴直線MN的表達式為y=﹣x+m+n；

（3）解：設(shè)點A（p，q），則 ，

∵直線AB經(jīng)過點P（ ， ），由（2）得 ，

∴p+q=1，

∴ ，

解并檢驗得：p=2或p=﹣1，

∴q=﹣1或q=2，

∴這一對“互換點”是（2，﹣1）和（﹣1，2），

將這一對“互換點”代入y=x2+bx+c得，

∴ 解得 ，

∴此拋物線的表達式為y=x2﹣2x﹣1．

【解析】（1）設(shè)這一對“互換點”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．①當(dāng)ab=0時，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，②當(dāng)ab≠0時，由 可得 ，于是得到結(jié)論；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到結(jié)論；（3）設(shè)點A（p，q），則 ，由直線AB經(jīng)過點P（ ， ），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，將這一對“互換點”代入y=x2+bx+c得，于是得到結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達式的相關(guān)知識，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．