Question

8．某公司開(kāi)發(fā)了一種新型的家電產(chǎn)品，現(xiàn)投資40萬(wàn)元用于該產(chǎn)品的廣告促銷(xiāo)，已知該產(chǎn)品的本地銷(xiāo)售量y₁（萬(wàn)臺(tái)）與本地的廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系滿(mǎn)足y₁=$\left\{\begin{array}{l}{3x（0≤x≤25）}\\{2x+25（25＜x≤40）}\end{array}\right.$，該產(chǎn)品的外地銷(xiāo)售量y₂（萬(wàn)臺(tái)）與外地廣告費(fèi)用t（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系可用如圖所示的拋物線和線段AB來(lái)表示，其中點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）結(jié)合圖象，求出y₂（萬(wàn)臺(tái)）與外地廣告費(fèi)用t（萬(wàn)元）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求該產(chǎn)品的銷(xiāo)售總量y（萬(wàn)臺(tái)）與本地廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如何安排廣告費(fèi)用才能使銷(xiāo)售總量最大？（寫(xiě)出最后結(jié)果即可）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)0≤t≤25時(shí)，y₂為二次函數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（25，122.5），設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，把（0，60）代入求函數(shù)式，當(dāng)25＜t≤40時(shí)，y₂=122.5；
（2）由x+t=40，得t=40-x，此時(shí)，x的取值范圍是0≤x＜15，15≤x＜25，25≤x≤40，由y=y₁+y₂，分別求該產(chǎn)品的銷(xiāo)售總量y（萬(wàn)臺(tái)）與本地廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）中的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，再各范圍內(nèi)求y的最大值，比較即可．

解答 解：（1）由函數(shù)圖象可知，
當(dāng)0≤t≤25時(shí)，函數(shù)圖象為拋物線的一部分，
設(shè)解析式為y₂=a（t-25）²+122.5，
把（0，60）代入解析式得，
y₂=-0.1（t-25）²+122.5；
當(dāng)25＜t≤40時(shí)，y₂=122.5；

（2）∵本地廣告費(fèi)用為x萬(wàn)元，則外地廣告費(fèi)t=40-x（萬(wàn)元），
根據(jù)t的取值范圍得，
∴0≤x≤15時(shí)，y=y₁+y₂=3x+122.5；
15＜x≤25時(shí)，y=y₁+y₂=3x-$\frac{1}{10}$（40-x-25）²+122.5=-0.1x²+6x+100；
25＜x≤40時(shí)，y=y₁+y₂=2x+25-$\frac{1}{10}$（40-x-25）²+122.5=-0.1x²+5x+125．

（3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式可知，當(dāng)x=25時(shí)，y_最大=187.5萬(wàn)元，
即：安排本地廣告費(fèi)25萬(wàn)元，外地廣告費(fèi)15萬(wàn)元，能使銷(xiāo)售總量最大，最大為187.5萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象，分段求出y₂的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍，根據(jù)兩個(gè)變量x、t的和為40，將函數(shù)式中的變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．