Question

如圖，已知點(diǎn)P（-4，0），以點(diǎn)P為圓心PO長為半徑作圓交x軸于點(diǎn)A、O兩點(diǎn)．過點(diǎn)A作直線AC交y軸于點(diǎn)C，與圓P交于點(diǎn)B，sin∠CAO=
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，求經(jīng)過A、D、O三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)P（-4，0），可求得OA的長，又由sin∠CAO=，即可求得OC的長，則可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）首先連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，易得∠D=∠A，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得經(jīng)過A、D、O三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）．
解答：解：（1）∵P（-4，0），
∴OP=4，
∴OA=2OP=8，
在Rt△AOC中，sin∠CAO==，
∴設(shè)OC=3x，AC=5x，
∵AC²=OC²+OA²，
∴（5x）²=（3x）²+8²，
解得：x=2，
∴OC=6，AC=10，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；

（2）連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，
∴∠D+∠DPE=90°，PD=OP=4，
∵點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，
∴PD⊥AB，
∴∠A+∠DPE=90°，
∴∠D=∠A，
∴sin∠D==，
∴PE=，
∴DE==，
∴OE=OP+PE=，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-，），
∴，
解得：，
∴經(jīng)過A、D、O三點(diǎn)的拋物線為：y=-x²-x．
點(diǎn)評：此題考查了垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．