Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．動點Q從點A出發(fā)沿AC向終點C勻速運動，速度2cm/s；同時，點P從點B出發(fā)沿BA向終點A勻速運動，速度1cm/s；
（1）當(dāng)t為何值時，△APQ與△ABC相似？
（2）當(dāng)t為何值時，△APQ為等腰三角形？

Answer 1

考點：相似三角形的判定,等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）根據(jù)勾股定理計算出AC=5，再利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，當(dāng)

AQ

AC

=

AP

AB

時，△AQP∽△ACB，即

2t

5

=

3-t

3

；當(dāng)

AQ

AB

=

AP

AC

，△AQP∽△ABC，即

2t

3

=

3-t

5

，然后分別利用比例的性質(zhì)求t的值；
（2）分類討論：當(dāng)AQ=AP時，2t=3-t，易得t=1（s）；當(dāng)PA=PQ時，作PM⊥AQ于M，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AM=MQ=t，再證明△AMP∽△ABC，利用相似比得到

t

3

=

3-t

5

，然后解方程求出t的值；當(dāng)QA=QP時，作QN⊥AP于N，如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AN=BN=

1

2

（3-t），再證明△ANQ∽△ABC，利用相似比得

2t

5

=

1 2 (3-t)

3

，然后解方程求出t的值．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠A=∠A，
∴當(dāng)

AQ

AC

=

AP

AB

時，△AQP∽△ACB，即

2t

5

=

3-t

3

，解得t=

15

11

（s）；
當(dāng)

AQ

AB

=

AP

AC

，△AQP∽△ABC，即

2t

3

=

3-t

5

，解得t=

9

13

（s）；
∴當(dāng)t為

15

11

s或

9

13

s時，△APQ與△ABC相似；
（2）當(dāng)AQ=AP時，2t=3-t，解得t=1（s）；
當(dāng)PA=PQ時，作PM⊥AQ于M，如圖1，則AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，
∴△AMP∽△ABC，
∴

AM

AB

=

AP

AC

，即

t

3

=

3-t

5

，解得t=

9

8

（s）；
當(dāng)QA=QP時，作QN⊥AP于N，如圖2，則AN=PN=

1

2

（3-t），
QN∥BC，
∴△ANQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AN

AB

，即

2t

5

=

1 2 (3-t)

3

，解得t=

15

17

（s），
∴當(dāng)t為1s或

9

8

s或

15

17

s，△APQ為等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．