Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系O中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4），現(xiàn)有兩動點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)單位長度的速度，勻速向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動.點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t=2秒時(shí)PQ=.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出t的取值范圍；

（2）連接AQ并延長交軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點(diǎn)F,連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值.

（3）在（2）的條件下，t為何值時(shí)，四邊形APQF是梯形？

 

Answer 1

【答案】

（1）（8，4），0＜t＜4（2）不變化，S=32（3）6-2

【解析】（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時(shí)，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，

∴OC=OP+PC=4+4=8，

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．

點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為8÷2=4秒，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為4÷1=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4。

（2）結(jié)論：△AEF的面積S不變化．

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，

∴=，即=，解得CE=。

由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4-t，則CF=CD+DF=8-t．

S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AOE

=（OA+CF）•OC+CF•CE-OA•OE

=[4+（8-t）]×8+（8-t）•-×4×（8+）

化簡得：S=32為定值．

所以△AEF的面積S不變化，S=32．

（3）若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQ∥AF．

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，

∴CP：AD=CQ：DF，即8-2t：8= t：4-t，化簡得t²-12t+16=0，

解得：t₁=6+2，t₂=，

由（1）可知，0＜t＜4，∴t₁=6+2不符合題意，舍去．

∴當(dāng)t=6-2秒時(shí)，四邊形APQF是梯形

（1）由勾股定理求得PC的長，從而求得OC的長，即可求得D的坐標(biāo)，由點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間和點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間即可求得t的取值范圍

（2）通過S=S_梯形AOCF+S_△FCE-S_△AO求得結(jié)論

（3）若四邊形APQF是梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQ∥AF，可得△CPQ∽△DAF通過相似比求解，