Question

如圖，半圓O的直徑AB=10，弦AC=8，過A作直線PQ，若∠PAC=∠ABC．
（1）求證：PQ是半圓O的切線；
（2）若點M從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，N從點A出發(fā)，沿射線AP方向運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，點M運動到A即停止，設(shè)運動時間為t秒．
①設(shè)△AMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時，△AMN的面積最大，最大值是多少？
②當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求運動時間t的值．

Answer 1

（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的兩個銳角互余），
∵∠PAC=∠ABC（已知），
∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=90°（等量代換），
∴PQ⊥AB，
∴PQ是半圓O的切線；

（2）解：①如圖1，作ND⊥AC，垂足為D，則∠ADN=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠ADN=∠ACB（等量代換）；
∵∠PAC=∠ABC，即∠NAD=∠ABC，
∴△NAD∽△ABC，
∴（相似三角形的對應(yīng)邊成比例），
∵AB=10，AC=8，AN=CM=t，
∴，
∴ND=t，
∴S====，
∴當(dāng)t=4時，△AMN的面積最大，最大值是；

②在Rt△ABC中，BC===6，
∴cos∠CBA=；
如圖2，若MN=MA，作ME⊥AP，垂足為E，∴AE=，
在Rt△AEN中，cos∠MAE==cos∠CBA=，
∴=，
∴；
如圖3，若AN=NM，作NF⊥AC，垂足為F，則AF=，
在Rt△AFN中，cos∠NAF==cos∠CBA=，
∴=，
∴，
若AN=AM，有t=8-t，則t=4；
故當(dāng)△AMN為等腰三角形時，t的值為、4或．
分析：（1）欲證PQ是半圓O的切線，只需證明PQ⊥AB即可；
（2）①如圖1，作ND⊥AC，垂足為D，構(gòu)建相似三角形△NAD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例知，由此可以求得ND=t；然后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；最后根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求，△AMN的面積的最大值；
②需要分類討論：求當(dāng)AN為底、AM為底、MN為底三種情況下的時間t的值．
點評：本題考查了圓的綜合題：圓周角定理（直徑所對的圓周角是直角）、勾股定理、三角形的面積公式、二次函數(shù)的最值的求法以及等腰三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用．注意：在解答（2）②題時，需要對等腰△AMN的底邊進(jìn)行分類討論，以防漏解．