Question

13．四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分線段BD，∠BAC=90°，AC交BD于O，
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若AE⊥BD于E，AE=4，DE=2，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）先用對角線互相平分判斷出四邊形ABCD是平形四邊形，再由∠BAC=90°即可；
（2）先求出AD，再用射影定理求解即可．

解答 （1）∵AB∥CD，
∴∠BQC=∠ACD，
∵AC平分線段BD，
∴BO=DO，
又∠AOB=∠COD
∴△AOB≌△COD，
∴AB=CD，四邊形ABCD是平形四邊形，
又∠BAC=90°
∴四邊形ABCD是矩形
（2）由（1）知，四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°
在Rt△ADE中，AE=4，DE=2，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AE⊥BD于E
∴根據(jù)射影定理得，AD²=DE×DB，
∴DB=$\frac{A{D}^{2}}{DE}$=$\frac{20}{2}$=10．

點評 此題是矩形的性質(zhì)和判定，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，射影定理，解本題的關(guān)鍵是四邊形ABCD是平形四邊形，此題也可以不用射影定理，用判定相似三角形．