Question

△ABC的三邊長皆為整數(shù)，且a+bc+b+ca=24，當△ABC為等腰三角形時，它的面積的答案有（　�。�

A、1種

B、2種

C、3種

D、4種

Answer 1

分析：先把已知的式子左邊因式分解，得（a+b）（c+1）=24，再利用△ABC的三邊長皆為整數(shù)，那么可知24=1×24=2×24=3×8=4×6，于是分4種情況討論，并結(jié)合三角形三邊的關系，最后確定不同三角形的個數(shù)，從而求出答案．

解答：解：∵a+bc+b+ca=24，
∴a（c+1）+b（c+1）=24，
即（a+b）（c+1）=24，
又∵△ABC的三邊長皆為整數(shù)，
24=1×24=2×12=3×8=4×6，
①由于a+b＞c＞0，∴c+1=1，a+b=24，其中求出c=0，不合題意，故舍去；
②由于a+b＞c＞0，∴c+1=2，a+b=12，
解得c=1，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，則2c=2＜11，不能構成三角形，
故c只能是底邊，
∴a=b=6；
③由于a+b＞c＞0，∴c+1=3，a+b=8，
解得c=2，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，則2c=4＜6，不能構成三角形，
故c只能是底邊，
∴a=b=4；
④由于a+b＞c＞0，∴c+1=4，a+b=6，
解得c=3，而△ABC是等腰三角形，
若c是腰，則2c=6＞3，能構成三角形，
故c能是底邊，也能是腰，
∴a=b=3或a=b=3；（此時的三角形是等邊三角形）
∴能組成3個不同的三角形，面積的答案有3種．
故選C．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊的關系、分類討論．分類討論后一定要進行驗證這是正確解答本題的關鍵．