Question

【題目】如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸，且．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若直線從點(diǎn)開始沿軸向下平移，分別交軸、軸于點(diǎn)、．

①當(dāng)時(shí)，在線段上否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，構(gòu)成等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

②以動(dòng)直線為對(duì)稱軸，線段關(guān)于直線的對(duì)稱線段與二次函數(shù)圖象有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）或（36，3）或（，）； ②．

【解析】

（1）如圖1，連結(jié)AC．在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根據(jù)三角函數(shù)可得C（0，），根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線解析式；

（2）①由題意可知，OE=m，OD，∠DEO=30°，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)分三種情況：

（i）如圖2，當(dāng)PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸；

（ii）如圖3，當(dāng)PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸；

（iii）如圖4，當(dāng)DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；進(jìn)行討論可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②動(dòng)直線l與直線AC的交點(diǎn)為C和動(dòng)直線l與y軸的交點(diǎn)在x軸下面，并且與前面的直線平行，可求m的取值范圍．

（1）如圖1，連結(jié)AC．在Rt△AOC中，∠CAB=30°．

∵A（﹣3，0），即OA=3，

∴OC，即C（0，），

設(shè)拋物線解析式為，

將A（﹣3，0），B（1，0）代入得．

解得，

∴；

（2）①由題意可知，OE=m，OD，∠DEO=30°，

由A（﹣3，0），C（0，）得到直線AC的解析式為：yx

（i）如圖2，當(dāng)PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸，

∴∠PQD=∠EOD=90°，∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，∴∠DEO=∠PDQ=30°，

在△DPQ與△EDO中，

，

∴△DPQ≌△EDO（AAS），

∴DQ=OE=m．

∵∠PAQ=∠PDQ=30°，

∴PA=PD，

∴AQ=DQ=m，

∴OA=2m3，

∴；

此時(shí)P（，）

（ii）如圖3，當(dāng)PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸，

同理可得CQ=EQ=OD，

∵OC=m，

∴；

此時(shí)P（36，3）

（iii）如圖4，當(dāng)DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，

同理可得AP=AD，PN=DM，CN，

∴AC，

∴；

此時(shí)P（，）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）或（36，3）或

（，）．

②當(dāng)x=0，y時(shí)，0+m，解得：m；

當(dāng)x=0，y時(shí)，0+m，解得：m．

故m的取值范圍為：．