Question

18．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BD．
（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大�。骸螦BD=30°-$\frac{1}{2}$α （用含α的式子表示）
（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE的形狀并加以證明．

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC的度數(shù)，即可求出答案；
（2）連接AD，CD，ED，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-$\frac{1}{2}$α，且△BCD為等邊三角形，證△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α，求出∠BEC=$\frac{1}{2}$α=∠BAD，證△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-$\frac{1}{2}$α；

（2）△ABE是等邊三角形，
證明：連接AD，CD，ED，
∵線段BC繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，
則BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-$\frac{1}{2}$α，且△BCD為等邊三角形，
在△ABD與△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°-（30°-$\frac{1}{2}$α）-150°=$\frac{1}{2}$α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠BAD}\\{∠EBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．