Question

（2012•武漢模擬）如圖1，已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D為射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D、B不重合），過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線BE與以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-t）²+h相交于點(diǎn)E，從△ADE和△ADB中任選一個(gè)三角形，求出當(dāng)其面積等于△ABE的面積時(shí)的t的值；（友情提示：1、只選取一個(gè)三角形求解即可；2、若對(duì)兩個(gè)三角形都作了解答，只按第一個(gè)解答給分．）
（3）如圖2，若點(diǎn)P是直線y=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)O，C，P和Q為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，求相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令y=x²-2x-3=0，求出方程的兩根，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出，令x=0，求出y，C點(diǎn)的坐標(biāo)可求出；
（2）根據(jù)拋物線y=（x-t）²+h沿射線CB作平移變換，其頂點(diǎn)D（t，h）在射線CB上運(yùn)動(dòng)，易知直線CB的函數(shù)關(guān)系式為y=x-3，求出h與t之間的關(guān)系式，從△ADE和△ADB中任選一個(gè)三角形，求出當(dāng)其面積等于△ABE的面積時(shí)的t的值即可；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），根據(jù)點(diǎn)O，C，P和Q為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，分別討論直角頂點(diǎn)的情況，求出a的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解之得x₁=-1，x₂=3，
所以A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．

（2）由題意可知，拋物線y=（x-t）²+h沿射線CB作平移變換，其頂點(diǎn)D（t，h）在射線CB上運(yùn)動(dòng)，易知直線CB的函數(shù)關(guān)系式為y=x-3，
∴h=t-3．
①選取△ADE．
△ADE與△ABE共邊AE，當(dāng)它們的面積相等時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)B到AE的距離相等，此時(shí)直線AE∥BC，
∴直線AE的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，4）．
因?yàn)辄c(diǎn)E在拋物線上，∴4=（3-t）²+h，
∴4=（3-t）²+（t-3），…（6分）
解之得，t₁=

5+ 17

2

，t₂=

5- 17

2

．              
②選取△ADB．
△ADB與△ABE共邊AB，當(dāng)它們的面積相等時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)E到x軸的距離相等，
∵點(diǎn)D到x軸的距離為|t-3|，點(diǎn)E到x軸的距離為|（3-t）²+（t-3）|，
∴|t-3|=|（3-t）²+（t-3）|．                            
t-3=（3-t）²+（t-3），或3-t=（3-t）²+（t-3），
解之得t=3或t=1，其中t=3時(shí)，點(diǎn)D、B重合，舍去，∴t=1．    
（3）如圖3：以O(shè)C為腰時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，
故CP∥OA，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3，
∵點(diǎn)P在y=x上，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-3）；
如圖4：

以O(shè)C為腰時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作y=x的平行線，則可求得與拋物線交點(diǎn)為B，此時(shí)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.5，1.5）；
如圖以O(shè)C為底時(shí)，
①以O(shè)C為下底時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-1）；
②以O(shè)C為上底時(shí)，如圖4，
CQ∥x軸，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，-3），
∵PQ∥OC，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握拋物線圖象得性質(zhì)和特點(diǎn)，特別是第三問(wèn)要進(jìn)行分類討論，此題難度較大．