Question

已知：?ABCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，O是坐標(biāo)原點，OB：OC：OA=1：3：5，S_?ABCD=12，拋物線經(jīng)過D、A、B三點．
（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式；
（3）E是拋物線與DC交點，以DE為邊的平行四邊形，它的面積與?ABCD面積相等，且另兩頂點中有一個頂點P在拋物線上，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由OB：OC：OA=1：3：5，S_?ABCD=12，求得OB=1，OC=3，OA=5，進而求得A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）由OB=1，OC=3，OA=5，得出AB=4，根據(jù)平行四邊形等邊平行且相等，得出D（-4，3），然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；
（3）先求得E的坐標(biāo)，進而求得DE的長，根據(jù)以DE為邊的平行四邊形的面積與?ABCD面積相等，求得P點到直線DE的距離為6，從而求得P的縱坐標(biāo)為-3，代入拋物線的解析式即可求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵OB：OC：OA=1：3：5，
設(shè)OB=x，OC=3x，OA=5x，
∴AB=OA-OB=5x-x=4x，
∵S_?ABCD=12，
∴AB•OC=4x×3x=12，解得x=1，
∴OB=1，OC=3，OA=5，
∴A（-5，0），C（0，3），

（2）∵OB=1，OC=3，OA=5，
∴AB=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=4，
∴D（-4，3），
∵A（-5，0），B（-1，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∴

16a-4b+c=3 25a-5b+c=0 a-b+c=0

，解得

a=-1 b=-6 c=-5

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-6x-5．
（3）∵E點的縱坐標(biāo)為3，
∴-x²-6x-5=3．解得x=-2或x=-4，
∴E的坐標(biāo)為（-2，3），
∴DE=-2-（-4）=2，
∴以DE為邊的平行四邊形的面積與?ABCD面積相等，
∴P點到直線DE的距離為，12÷2=6，
∴P的縱坐標(biāo)為-3，
把y=-3代入y=-x²-6x-5得-x²-6x-5=-3，解得，x=-3+

7

或x=-3-

7

，
∴P的坐標(biāo)為（-3+

7

，-3）或（-3-

7

，-3）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．