(2008•益陽)兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起,其中∠A=60°,AC=1.固定△ABC不動,將△DEF進(jìn)行如下操作:
(1)如圖,△DEF沿線段AB向右平移(即D點在線段AB內(nèi)移動),連接DC、CF、FB,四邊形CDBF的形狀在不斷的變化,但它的面積不變化,請求出其面積.

(2)如圖,當(dāng)D點移到AB的中點時,請你猜想四邊形CDBF的形狀,并說明理由.

(3)如圖,△DEF的D點固定在AB的中點,然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)△DEF,使DF落在AB邊上,此時F點恰好與B點重合,連接AE,請你求出sinα的值.

【答案】分析:(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD=BE,再結(jié)合兩條平行線間的距離相等,則三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積,所以要求的梯形的面積等于三角形ABC的面積.根據(jù)60度的直角三角形ABC中AC=1,即可求得BC的長,從而求得其面積;
(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質(zhì),即可得到該四邊形的四條邊都相等,則它是一個菱形;
(3)過D點作DH⊥AE于H,可以把要求的角構(gòu)造到直角三角形中,根據(jù)三角形ADE的面積的不同計算方法,可以求得DH的長,進(jìn)而求解.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=60°,AC=1,
∴BC=,
∴S梯形CDBF=S△ABC=

(2)菱形.
∵在直角三角形ABC中,AD=BD,
∴CD=AD=BD,
根據(jù)平移的性質(zhì)得到CF=BD,BF=CD,
∴CF=BD=BF=CD,
∴四邊形CDBF是菱形;

(3)過D點作DH⊥AE于H,則S△ADE=•1•=,
又S△ADE=AE•DH=,
DH==,
∴在Rt△DHE′中,sinα==
點評:綜合運用直角三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)進(jìn)行分析計算,考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力.
練習(xí)冊系列答案
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(2)如圖,當(dāng)D點移到AB的中點時,請你猜想四邊形CDBF的形狀,并說明理由.

(3)如圖,△DEF的D點固定在AB的中點,然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)△DEF,使DF落在AB邊上,此時F點恰好與B點重合,連接AE,請你求出sinα的值.

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(2)如圖,當(dāng)D點移到AB的中點時,請你猜想四邊形CDBF的形狀,并說明理由.

(3)如圖,△DEF的D點固定在AB的中點,然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)△DEF,使DF落在AB邊上,此時F點恰好與B點重合,連接AE,請你求出sinα的值.

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