Question

如圖，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，以DE為腰作等腰Rt△DEF，連接CF，BF．若CE=1，△CDF的面積為7.5，則BF的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的判定與性質(zhì),圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：作DN⊥AC，DM⊥FC，F(xiàn)K⊥BC，垂足分別為N，M，K，如圖所示．易證∠DFE=∠ACB═45°，可得D、E、C、F四點(diǎn)共圓，從而可證到∠DEN=∠DFM，進(jìn)而可得△DNE≌△DMF，則有DN=DM，NE=MF．易證四邊形DNCM是正方形，設(shè)正方形DNCM的邊長為x，根據(jù)△CDF的面積為7.5建立關(guān)于x的方程，求出x，從而可求出FC、KC、BK，然后根據(jù)勾股定理就可求出BF的長．

解答：證明：作DN⊥AC，DM⊥FC，F(xiàn)K⊥BC，垂足分別為N，M，K，如圖所示．
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠DFE=∠ACB=45°，
∴D、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠EDF+∠ECF=180°，∠DEC+∠DFC=180°，∠DCF=∠DEF=45°．
∵∠DEN+∠DEC=180°，
∴∠DEN=∠DFM．
在△DNE和△DMF中，

∠DEN=∠DFM ∠DNE=∠DMF DE=DF

．
∴△DNE≌△DMF，
∴DN=DM，NE=MF．
∵∠DNC=∠NCM=∠DMC=90°，
∴四邊形DNCM是矩形．
∵DN=DM，
∴矩形DNCM是正方形．
設(shè)正方形DNCM的邊長為x，
則NC=MC=DM=DN=x，
∴MF=NE=NC-EC=x-1，
∴FC=MC+FM=x+（x-1）=2x-1．
∵△CDF的面積為7.5，
∴

1

2

x（2x-1）=7.5．
解得：x₁=-2.5（舍去），x₂=3．
∴BD=DC=

DM2+MC2

=3

2

，F(xiàn)C=5，
∴KF=FC•sin45°=

5 2

2

．
同理：KC=

5 2

2

，
∴BK=BC-KC=6

2

-

5 2

2

=

7 2

2

，
∴BF=

FK2+BK2

=

37

．
故答案為：

37

．

點(diǎn)評：本題考查了四點(diǎn)共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識，綜合性比較強(qiáng)．而通過證明D、E、C、F四點(diǎn)共圓進(jìn)而證到△DNE≌△DMF是解決本題的關(guān)鍵．