【題目】問題背景(1)如圖1,△ABC中,DE∥BC分別交AB,AC于D,E兩點(diǎn),過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F.請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空:△EFC的面積__________,△ADE的面積______________.
探究發(fā)現(xiàn)(2)在(1)中,若BF=m,F(xiàn)C=n,DE與BC間的距離為.請(qǐng)證明.
拓展遷移(3)如圖2,□DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上,若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為3、7、5,試?yán)?/span>(2)中的結(jié)論求△ABC的面積.
【答案】(1)9,1;(2)證明見解析;(3)27.
【解析】
試題分析:本題利用了平行四邊形、三角形的面積公式,還利用了平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).
(1)四邊形DBFE是平行四邊形,利用底×高可求面積;△EFC的面積利用底×高的一半計(jì)算;△ADE的面積,可以先過點(diǎn)A作AH⊥BC,交DE于G,交BC于H,即AG是△ADE的高,AH是△ABC的高,利用平行線分線段成比例定理的推論,可知△ADE∽△ABC,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,可求AG,再利用三角形的面積公式計(jì)算即可;
(2)由于DE∥BC,EF∥AB,可知四邊形DBFE是,同時(shí),利用平行線分線段成比例定理的推論,可知△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,從而易得△ADE∽△EFC,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,可得S1:S2=a2:b2,由于S1=bh,那么可求S2,從而易求4S1S2,又S=ah,容易證出結(jié)論;
(3)過點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H,則四邊形DBHG為平行四邊形,容易證出△DBE≌△GHF,那么△GHC的面積等于8,再利用(2)中的結(jié)論,可求DBHG的面積,從而可求△ABC的面積.
試題解析:(1)S1=9,S2=1;
(2)如圖1,
∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四邊形DBFE為平行四邊形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF,
∴△ADE∽△EFC,
∴=()2=,
∵S1=bh,
∴S2=×S1=,
∴4S1S2=4×bh×=(ah)2,
而S=ah,
∴S2=4S1S2;
(3)如圖2,過點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H,則四邊形DBHG為平行四邊形,
,∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH,
∵四邊形DEFG為平行四邊形,
∴DG=EF,
∴BH=EF,
∴BE=HF,
∴△DBE≌△GHF,
∴△GHC的面積為7+5=12,
由(2)得,平行四邊形DBHG的面積S為=12,
∴△ABC的面積為3+12+12=27.
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y | … | 2 | 4 | 2 | ﹣2 | … |
則下列判斷中正確的是( )
A. 拋物線開口向上 B. y最大值為4
C. 當(dāng)x>1時(shí),y隨著x的增大而減小 D. 當(dāng)0<x<2時(shí),y>2
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C. 沒有實(shí)數(shù)根 D. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
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(1)求A、B兩種型號(hào)的汽車分別有多少個(gè)乘客座位?
(2)綜合考慮多種因素,最后該公司決定租用9輛汽車,問最多安排幾輛B型汽車?
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(2)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,則GE=BE+GD成立嗎?為什么?
(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:
如圖2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點(diǎn),且
∠DCE=45°,BE=4,求DE的長(zhǎng)。
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則點(diǎn)P到直線l的距離 ( )
A. 等于3 cm B. 大于3 cm而小于4 cm ; C. 不大于3 cm D. 小于3 cm
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