Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=α，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉β后得到△DEC，點D恰好落在AB邊上．
（1）猜想α與β之間的數量關系，并給予證明；
（2）當α=30°時，點F為DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質得出∠A=90°-α，由旋轉的性質得出AC=CD，∠ACD=β，由等腰三角形的性質和三角形內角和得出2（90°-α）+β=180°，即可得出結果；
（2）利用直角三角形的性質得出FC=DF，證出△DFC和△ADC是等邊三角形，得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．

解答 （1）解：α=$\frac{1}{2}$β；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=α，
∴∠A=90°-α，
由旋轉的性質得：AC=CD，∠ACD=β，
∴∠A=∠ADC=90°-α，
由三角形內角和定理得：2（90°-α）+β=180°，
解得：α=$\frac{1}{2}$β；
（2）解：四邊形ACFD是菱形；理由如下：
∵∠DCE=∠ACB=90°，F(xiàn)是DE的中點，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等邊三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等邊三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四邊形ACFD是菱形．

點評 本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、三角形內角和定理、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質；本題綜合性強，難度適中，證明三角形是等邊三角形是解決（2）的關鍵．