Question

如圖，已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3

3

，以AC為底邊在△ABC外作等腰三角形ACD，且∠ADC=120°，連接BD，則BD的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）作AE⊥BC于E，求出AE、BE、CE的長度，進(jìn)而求出AC的長度；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，由AD=CD，得出AG、CG進(jìn)，得出AD、DG
（3）作DF⊥AC于F，∠GDH=∠ACE，證明△DGH∽△AEC，求出GH、HC的長度．利用勾股定理求得FC，再得DF．
（4）最后由勾股定理求出BD的長度．

解答：解：作AE⊥BC于E，
∵∠ABC=30°，AB=2，
∴AE=1，BE=

3

．
∴EC=2

3

，AC=

13

．
過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，
∵AD=CD，DG⊥AC，
∴AG=CG=

13

2

．
∵∠ADC=120°，
∴∠DAC=30°
∴AD=

AG

cos∠DAC

=

13 2

3 2

=

39

3

，DG=

39

6

，DC=

39

3

．
作DF⊥AC于F，交AC于點(diǎn)H，
∵∠DGC=∠AEC=90°，∠DHG=∠CHF，
∴∠GDH=∠ACE，
又∵∠DGC=∠AEC=90°，
∴△DGH∽△AEC，
∴

DG

EC

=

GH

AE

，GH=

13

12

，HC=CG-GH=

5

12

13

．
∵tan∠GDH=

GH

DG

=

3

6

又∵∠GDH=∠ACE，
∴

HF

FC

=

3

6

，設(shè)HF=

3

x，F(xiàn)C=6x，
在Rt△CHF中，(

3

x)2+(6x)2=(

5

12

3

)2，
     x=

5

36

3

，
FC=

5

6

3

，
在Rt△CDF中，DF=

DC2-FC2

=

3

2

，
BF=BC-FC=3

3

-

5

6

3

=

13

6

3

，
在Rt△BDF中，BD=

BF2+DF2

=

( 13 3 6 )2+( 3 2 )2

=

7

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理與解直角三角形的綜合應(yīng)用．難度較大，關(guān)鍵是正確地作出輔助線．