Question

如圖，已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，半徑為1的⊙B經(jīng)過點(diǎn)O，且與x、y
軸分別交于點(diǎn)A、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-，0），AC的延長(zhǎng)線與⊙B的切線OD
交于點(diǎn)D.
（1）求OC的長(zhǎng)和∠CAO的度數(shù)；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）求過點(diǎn)A，O，D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（4）在（3）中，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使得△AOP的
面積與△AOC的面積相等.

Answer 1

（1）∵∠AOC=90^o，
∴AC是⊙O的直徑，∴AC=2.
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-，0），∴OA=.
∴OC===1.
∴sin∠CAO==，∴∠CAO=30^o.………2分
（2）如圖，連接OB，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E.
∵OD為⊙O的切線，∴OB⊥OD，∴∠BOD=90^o.
∵AB=OB，∴∠AOB=∠OAB=30^o.
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90^o +30^o=120^o.…………4分
在△AOD中，∠ODA=180^o-120^o-30^o=30^o=∠OAD，
∴OD=OA=.
在Rt△DOE中，∠DOE=180^o-120^o=60^o. ∴OE=OD·cos60^o=OD=，
ED=OD·sin60^o= . ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）……………………7分
（3）因?yàn)檫^點(diǎn)A，O，D三點(diǎn)的拋物線過原點(diǎn)，故設(shè)其解析式為y=ax²+bx.
將A(-，0)，D（，）代入解析式，得
解得
∴過點(diǎn)A，O，D三點(diǎn)的拋物線解析式為y=x²+x..………………10分
（4）∵△AOP與△AOC面積相等，且有公共邊OA，
∴OA邊上的高相等
設(shè)P點(diǎn)的為（x，y），則=OC=1，y=±1.
當(dāng)y=1時(shí)，x²+x=1，解方程得，x₁=，x₂=………………11分
當(dāng)y=-1時(shí)，x²+x=-1，此方程△<0，方程無解.
∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（，1）或（，1）時(shí)，△AOP與△AOC面積相等.……………………………………………………………………………………12分

解析