Question

某公共場(chǎng)所準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把傾角為45°減為30°（樓梯高度不變），已知原樓梯長(zhǎng)為4m，那么調(diào)整的樓梯會(huì)增加多長(zhǎng)樓梯多占了多長(zhǎng)一段地面？（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析：在原三角形ABC中，因?yàn)椤螦BC=∠ACB=45°，且AB=4，則有BC=AC=AB•sin45°=2

2

米．在新三角形ADC中，因?yàn)椤螪=30°，AC=2

2

，所以DC=

AC

tan30°

=2

6

，AD=

AC

sin30°

=4

2

，即樓梯增長(zhǎng)了（4

2

-4）米，多占地面長(zhǎng)度即為可求．

解答：解：根據(jù)題意可作圖（見(jiàn)右圖）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠ABC=45°，∠D=30°，
∴AC=BC．
∴sin∠ABC=

AC

AB

．
在Rt△ACD中，
AC=AB•sin∠ABC
=4×sin45°
=4×

2

2

=2

2

．
∴sinD=

AC

AD

，
∴AD=

AC

sinD

=

2 2

sin30°

=4

2

（或AD=2AC），
∴AD-AB=（4

2

-4）m．
又∵tanD=

AC

DC

，
∴DC=

AC

tanD

=2

2

•

3

=2

6

m．
∴DC-BC=（2

6

-2

2

）m．
答：調(diào)整后樓梯會(huì)增加（4

2

-4）m，多占地面長(zhǎng)為（2

6

-2

2

）m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象到直角三角形中解決問(wèn)題．