Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+3x與x軸交于O、A兩點(diǎn)，與直線y=x交于O、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，0）、（2，2）．點(diǎn)P在拋物線上，且不與點(diǎn)O、B重合，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交射線OB于點(diǎn)Q，以PQ為邊作矩形PQMN，MN與點(diǎn)B始終在PQ同側(cè)，且PN=1．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），矩形PQMN的周長(zhǎng)為C．
（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）求C與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)矩形PQMN是正方形時(shí)，求m的值．
（4）直接寫(xiě)出矩形PQMN的邊與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把x=m代入y=ax²+bx，即可求得縱坐標(biāo)．
（2）分別求出矩形PQMN的周長(zhǎng)C與m之間的函數(shù)關(guān)系式即可．
（3）分兩種情形列出方程即可解決．
（4）分三種情況表示出P的橫坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵P在拋物線y=-x²+3x上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，-m²+3m）

（2）∵PQ∥y軸，
∴Q（m，m）．
∵M(jìn)N與點(diǎn)B始終在PQ同側(cè)，且PN=1．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），
∴0＜m＜2時(shí)，如圖1中，
PQ=-m²+3m-m=-m²-2m，
C=2（-m²+2m）+2=-2m²+4m+2．

（3）∵矩形PQMN是正方形，
∴PQ=PN=1，
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，如圖3中，
-m²+2m=1，解得m₁=m₂=1．
當(dāng)m＞2時(shí)，如圖4中，
m²-2m=1，
解得m₁=1+$\sqrt{2}$，m₂=1-$\sqrt{2}$（不合題意舍棄）；

（4）由圖3可知當(dāng)m=1時(shí)矩形PQMN的邊與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
∵拋物線y=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$），
當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上時(shí)，∵Q（m，m）．
∴M（m+1，m+1），
∴m+1=-（m+1）²+3（m+1），
解得m=2，
∴當(dāng)$\frac{3}{2}$≤m＜2時(shí)矩形PQMN的邊與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Q的縱坐標(biāo)為$\frac{9}{4}$時(shí)，Q的橫坐標(biāo)為$\frac{9}{4}$，
∴此時(shí)P的橫坐標(biāo)為$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m＞$\frac{9}{4}$時(shí)矩形PQMN的邊與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
綜上，當(dāng)m=1或$\frac{3}{2}$≤m＜2或m＞$\frac{9}{4}$時(shí)矩形PQMN的邊與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、矩形、正方形的有關(guān)性質(zhì)，學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分段討論的思想，需要正確畫(huà)出圖形，用方程的思想解決問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合的好題目，屬于中考?jí)狠S題．