Question

13．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DB∥AF，對角線AC，BD相交于點E．
（1）△ADE和△BCE的面積分別是4cm²和9cm²，求△ACF的面積；
（2）設△ADE，△BCE的面積分別是S₁，S₂，你能用S₁和S₂來表示梯形ABCD的面積S嗎？

Answer 1

分析 （1）過A作AH⊥CF于H，根據(jù)已知條件得到四邊形AFBD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得到BF=AD，通過△ADE∽△BCE，得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{4}{9}$，于是得到$\frac{AE}{CE}$=$\frac{2}{3}$，求得S_△CDE=6，S_△ABE=6，即可得到結(jié)論；
（2）由于AD∥BC，得到△ADE∽△BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，求得$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，證得S_△CDE=$\frac{{S}_{1}\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{{S}_{1}}}$，S_△ABE=$\frac{{S}_{2}\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過A作AH⊥CF于H，
∵AD∥BC，DB∥AF，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∴BF=AD，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△CDE=6，S_△ABE=6，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AH=4+6+6+9=25，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$（BF+BC）•AH=25；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{AE}{CE}$）²=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，
∴S_△CDE=$\frac{{S}_{1}\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{{S}_{1}}}$，S_△ABE=$\frac{{S}_{2}\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$，
∴S_梯形ABCD=S_△ADE+S_△CDE+S_△ABE+S_△BCE=S₁+S₂+$\frac{\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}}{{S}_{1}}$S₁+$\frac{\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}}{{S}_{2}}$S₂．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，圖形的面積的計算，熟練掌握梯形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．