Question

二次函數(shù)y=

2

3

x²的圖象如圖所示，點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₄在y軸正半軸上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₄在二次函數(shù)第一象限的圖象上，若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄都為等邊三角形，求：△OB₁A₁的邊長(zhǎng)

 

，△A₁B₂A₂的邊長(zhǎng)

 

，探究△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的邊長(zhǎng)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：設(shè)△OB₁A₁的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出B₁的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式求解即可，△A₁B₂A₂的邊長(zhǎng)為b，表示出B₂的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式得到關(guān)于b的方程求解即可，同理求出等邊三角形△A₂B₃A₃的邊長(zhǎng)，從而得到規(guī)律．

解答：解：設(shè)△OB₁A₁的邊長(zhǎng)為a，
則點(diǎn)B₁（

3

2

a，

1

2

a），
∵B₁在二次函數(shù)y=

2

3

x²的圖象上，
∴

2

3

×（

3

2

a）²=

1

2

a，
解得a₁=1，a₂=0（舍去），
設(shè)△A₁B₂A₂的邊長(zhǎng)為b，
則點(diǎn)B₂（

3

2

b，

1

2

b+1），
∵B₂在二次函數(shù)y=

2

3

x²的圖象上，
∴

2

3

×（

3

2

b）²=

1

2

b+1，
整理得，b²-b-2=0，
解得b₁=2，b₂=-1（舍去），
同理，等邊三角形△A₂B₃A₃的邊長(zhǎng)為3，
…，
△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的邊長(zhǎng)為2014．
故答案為：1，2，2014．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并表示出點(diǎn)B系列的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．