Question

在平面直角坐標系xoy中，直線y=

1

2

x-2向上平移2個單位得直線l，直線l與反比例函數y=

k

x

(k＞0)的圖象交于A．B兩點，且點A的縱坐標為2．
（1）試確定反比例函數的解析式；
（2）若雙曲線y=

k

x

(k＞0)上有一點C的橫坐標為1，求△AOC的面積；
（3）將直線l繞原點O旋轉α度角（α為銳角）交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先直線y=

1

2

x-2向上平移2個單位得直線l的解析式是y=

1

2

x，根據這一解析式求得點A的橫坐標，再根據點A的坐標求得反比例函數的解析式；
（2）根據反比例函數的解析式求得點C的縱坐標，再根據三角形的面積等于梯形的面積減去兩個直角三角形的面積進行計算；
（3）根據直線和雙曲線都是關于原點對稱的中心對稱圖形，則知組成的四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形被兩條對角線分成的四個三角形的面積相等，得三角形AOP的面積是6，設P（a，

8

a

），結合（2）中的方法求解．

解答：解：（1）直線y=

1

2

x-2向上平移2個單位得直線l的解析式是y=

1

2

x，
所以點A的橫坐標是4．
把（4，2）代入y=

k

x

(k＞0)，得k=8，
則反比例函數的解析式是y=

8

x

；

（2）根據（1）中求得的解析式，求得點C的縱坐標是8，
則三角形AOC的面積=

1

2

×8（3+4）-

1

2

×3×6-

1

2

×4×2=15；

（3）根據直線和雙曲線都是關于原點對稱的中心對稱圖形，則知組成的四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形被兩條對角線分成的四個三角形的面積相等，得三角形AOP的面積是6．
設P（a，

8

a

），
①當點P在點A的左側時，則有

1

2

×

8

a

×（4-a+4）-4-

1

2

×（4-a）×（

8

a

-2）=6，
解得a=2或a=-8（不合題意，舍去）；
②當點P在點A的右側時，則有

1

2

×2×（a-4+a）-4-

1

2

×（a-4）×（2-

8

a

）=6，
解得a=8或a=-2（不合題意，應舍去）．
則P（2，4）或（8，1）．

點評：此題綜合考查了直線的平移、正比例函數和反比例函數的圖象的交點以及不規(guī)則圖形的面積的計算．