Question

已知二次函數(shù)y₁=x²-2x-3及一次函數(shù)y₂=x+m．
（1）求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將該二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象．請(qǐng)你在圖中畫出這個(gè)新圖象，并求出新圖象與直線y₂=x+m有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m的值；
（3）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=y₁+y₂+（m-2）x+3的圖象與x軸有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；令拋物線的解析式中，y=0，可求出它函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）畫出此函數(shù)圖象后，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，可以有兩種情況：
①直線經(jīng)過原二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)A（即左邊的交點(diǎn)），可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函數(shù)圖象x軸以下部分翻折后，所得部分圖象仍是二次函數(shù)，該二次函數(shù)與原函數(shù)開口方向相反、對(duì)稱軸相同、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)相同，可據(jù)此判斷出該函數(shù)的解析式，若直線與新函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，那么該方程的判別式△=0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．
（3）根據(jù)題意可得到新函數(shù)y的函數(shù)解析式；當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則有：
①根的判別式△＞0；
②由于拋物線開口向上，所以當(dāng)x=0和x=2時(shí)，y值應(yīng)具備：y≥0；
（可結(jié)合圖象進(jìn)行判斷，當(dāng)x取0、2時(shí)，函數(shù)圖象均在x軸或x軸上方．）
③拋物線的對(duì)稱軸在0～2的范圍內(nèi)，不包括0和2；
（若取0或2，那么在0≤x≤2的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與x軸不會(huì)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．）
根據(jù)上述三個(gè)條件即可確定m的取值范圍．
解答：解：（1）∵y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4（1分）
則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）（2分）
∵y₁=x²-2x-3的圖象與x軸相交，
∴x²-2x-3=0，（3分）
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x=-1，或x=3，
∴拋物線與x軸相交于A（-1，0）、B（3，0），（4分）

（2）翻折后所得新圖象如圖所示，（5分）
平移直線y₂=x+m知：直線位于l₁和l₂時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同公共點(diǎn)，如圖所示，
①當(dāng)直線位于l₁時(shí)，此時(shí)l₁過點(diǎn)A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1；（6分）
②當(dāng)直線位于l₂時(shí)，
此時(shí)l₂與函數(shù)y=-x²+2x+3（-1≤x≤3）的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程x+m=-x²+2x+3，
即x²-x-3+m=0有一個(gè)根，（7分）
故△=1-4（m-3）=0，
即m=；（8分）

（3）∵y=y₁+y₂+（m-2）x+3
=x²+（m-3）x+m，
∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=x²+（m-3）x+m的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴m應(yīng)同時(shí)滿足下列三個(gè)方面的條件：
方程x²+（m-3）x+m=0的判別式△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）＞0，（9分）
拋物線y=x²+（m-3）x+m的對(duì)稱軸滿足0＜＜2，（10分）
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值y=m≥0，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值y=3m-2≥0，（11分）
即，
解得；
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象y=y₁+y₂+（m-2）x+3（0≤x≤2）與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及根據(jù)值域確定二次函數(shù)參數(shù)取值范圍的問題，綜合性強(qiáng)，難度較大．