【題目】如圖,拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當△ACM周長最小時,求點M的坐標及△ACM的最小周長.

【答案】
(1)解:∵點A(﹣1,0)在拋物線y= x2+bx﹣2上,

×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,

解得:b=﹣ ,

∴拋物線的解析式為y= x2 x﹣2.

y= (x﹣ 2

∴頂點D的坐標為:( ,﹣


(2)解:當x=0時y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.

當y=0時, x2 x﹣2=0,

解得:x1=﹣1,x2=4,

∴B (4,0),

∴OA=1,OB=4,AB=5.

∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形


(3)解:如圖所示:連接AM,

點A關(guān)于對稱軸的對稱點B,BC交對稱軸于點M,根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知,

MC+MA的值最小,即△ACM周長最小,

設(shè)直線BC解析式為:y=kx+d,則

解得: ,

故直線BC的解析式為:y= x﹣2,

當x= 時,y=﹣ ,

∴M( ,﹣ ),

△ACM最小周長是:AC+AM+MC=AC+BC= +2 =3


【解析】(1)直接將(﹣1,0),代入解析式進而得出答案,再利用配方法求出函數(shù)頂點坐標;(2)分別得出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,進而利用勾股定理的逆定理得出即可;(3)利用軸對稱最短路線求法得出M點位置,再求△ACM周長最小值.

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(1)求拋物線解析式;
(2)求線段DF的長;
(3)當DG= 時,
①求tan∠CGD的值;
②試探究在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使∠EDP=45°?若存在,請寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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A.B.C.D.

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