Question

（2013•河北）如圖，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以點(diǎn)O為圓心，6為半徑的優(yōu)弧

MN

分別交OA，OB于點(diǎn)M，N．
（1）點(diǎn)P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得OP′．求證：AP=BP′；
（2）點(diǎn)T在左半弧上，若AT與弧相切，求點(diǎn)T到OA的距離；
（3）設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧

MN

上，當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí)，直接寫出∠BOQ的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′，進(jìn)而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；
（2）利用切線的性質(zhì)得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長，進(jìn)而得出TH的長即可得出答案；
（3）當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點(diǎn)分別求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中

OA=OB ∠AOP=∠BOP′ OP=OP′

∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′；

（2）解：如圖1，連接OT，過點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H，
∵AT與

MN

相切，
∴∠ATO=90°，
∴AT=

OA2-OT2

=

102-62

=8，
∵

1

2

×OA×TH=

1

2

×AT×OT，
即

1

2

×10×TH=

1

2

×8×6，
解得：TH=

24

5

，即點(diǎn)T到OA的距離為

24

5

；

（3）解：如圖2，當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ的面積最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，
當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧

MN

右側(cè)上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，
綜上所述：當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10°或170°時(shí)，△AOQ的面積最大．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．