Question

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M．CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM，PN．
（1）延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E（如圖2）．
①求證：△BPM≌△CPE；
②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；
②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=

1

2

ME，而在Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，即可得到PM=PN．
（2）證明方法與②相同．
（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．

解答：（1）證明：①如圖2：
∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，
∴∠BMA=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC邊中點(diǎn)，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，（3分）
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE∴PM=

1

2

ME，
∴在Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，
∴PM=PN．（5分）

（2）解：成立，如圖3．
證明：延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，
∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，（7分）
又∵P為BC中點(diǎn)，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
在△BPM和△CPE中，

∠MBP=∠ECP BP=CP ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM=

1

2

ME，
則Rt△MNE中，PN=

1

2

ME，
∴PM=PN．（10分）

（3）解：如圖4，
四邊形M′BCN′是矩形，
根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn)，得到△M′BP≌△N′CP，（11分）
得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．