Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E對角線是BD上一點(diǎn)，作∠CEF=∠CBD，過點(diǎn)C作CF⊥CE交EF于F，連接DF．求證：
（1）；
（2）BD⊥DF．

Answer 1

證明：（1）∵過點(diǎn)C作CF⊥CE交EF于F，
∴∠ECF=90°，
∵∠CEF=∠CBD，∠BCD=90°，
∴△BCD∽△ECF，
∴，

（2）設(shè)EF和CD的交點(diǎn)為O，
∵△BCD∽△ECF，
∴∠BDC=∠EFC，
∵∠DOE=∠COF，
∴△DOE∽△COF，
∴，
∴，
∵∠DOF=∠EOC，
∴△ECO∽△DOF，
∴∠CFO=∠CDF，
∴∠EDC+∠CDF=∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDF=90°，
∴BD⊥DF．
分析：（1）根據(jù)題干條件可知∠CEF=∠CBD，∠BCD=∠ECF=90°，于是可以證得△BCD∽△ECF，即可證得，（2）設(shè)EF和CD的交點(diǎn)為O，根據(jù)△BCD∽△ECF，求得∠BDC=∠EFC，又知∠DOE=∠COF，即可證明△DOE∽△COF，于是可得，進(jìn)而得到，又知∠DOF=∠EOC，所以證得△ECO∽△DOF，然后得到∠CFO=∠CDF，最后求得∠BDF=90°．
點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，本題稍微有點(diǎn)難度．