Question

如圖，已知△ABC和△DEC都是等邊三角形，B、C、E在同一直線上，連接BD、AE和FG．
（1）求證：AE=BD；
（2）求∠AHB的度數(shù)；
（3）求證：FG∥BE．

Answer 1

證明：∵△ABC和△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠ACB，∠BCD=∠DCE+∠DCA，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD．

（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠AEC=∠ACB=60°，
∴∠2++∠AEC=60°，
∵∠2+∠AEC=∠AHB，
∴∠AHB=60°；

（3））∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠CEG，
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=180°-60°-60°=60°，
在△DFC和△EGC中，
，
∴△DFC≌△EGC（AAS），
∴CF=CG，
∴△CFG是等邊三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為60°的性質(zhì)可求得△BCD≌△ACE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得AE=BD．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠1=∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠1+∠AEC=∠ACB=60°，再進(jìn)行等量代換可得∠2++∠AEC=60°=∠AHB；
（3）首先證明△DFC≌△EGC可得CF=CG，進(jìn)而證出△CFG是等邊三角形，則∠CFG=∠FCB=60°，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得結(jié)論．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握證明三角形全等的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．