Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于點(diǎn)（0，$\frac{5}{2}$），與直線AB交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$），點(diǎn)D是拋物線A、B兩點(diǎn)間部分上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），直線CD∥y軸，交直線AB于C，連接AD、BD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把拋物線的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)D（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）（-1＜m＜4），則C（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），于是可表示出CD=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S=S_△ACD+S_△BCD可得到S與m的關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)S取最大值時(shí)的m的值，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)（0，$\frac{5}{2}$），A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{5}{2}}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$；
（2）設(shè)AB的解析式為y=kx+n，
把A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{4k+n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
設(shè)D（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）（-1＜m＜4），則C（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
所以CD=-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，
所以S=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$•（4+1）•CD=-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+5=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{125}{16}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S取最大值$\frac{125}{16}$，此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；會(huì)根據(jù)三角形面積公式，運(yùn)用面積的和差計(jì)算圖形的面積．