Question

【題目】在矩形中，為的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)，設(shè)，下列四個(gè)結(jié)論：①；②； ③；④，正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，可證四邊形ABHG是矩形，可得AB=GH=1，AG=BH=1，∠AGH=90°=∠EGF，由“ASA”可證△AEG≌△HFG，可得AE=HF，GE=GF，∠AEG=∠BFG，即可判斷②；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)F的位置不確定，可判斷①③；由銳角三角函數(shù)可得GE==，可求出△GEF的面積，可判斷④，即可求解．

解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，

∵在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，G為AD的中點(diǎn)，
∴∠A=∠B=90°，AG=DG=1=AB，
又∵GH⊥BC，
∴四邊形ABHG是矩形，
∴AB=GH=1，AG=BH=1，∠AGH=90°=∠EGF，
∴∠AGE=∠FGH，
又∵∠A=∠GHF=90°，AG=GH=1，
∴△AEG≌△HFG（ASA）
∴AE=HF，GE=GF，∠AEG=∠BFG，故②正確，
∵將三角板繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F，
∴點(diǎn)F的位置不確定，
∴HF不一定等于CF，
∴AE不一定等于CF，故①不正確，
若點(diǎn)F在線段CH上時(shí)，CH=HF+CF=AE+CF=1，
若點(diǎn)F在HC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CH=HF-CF=AE-CF=1，
故③不正確，
在Rt△AEG中，GE==，
∵GE=GF，∠EGF=90°，
∴S△EFG=EG2=×.
故④不正確，
故選：A．