Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，弦DE⊥AB交AC于F，交AB于H，交⊙O于E，P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連PC．
（1）若PC=PF，判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若=，，求sin∠ADE的值．

Answer 1

解：（1）PC與⊙O相切．
證明：連OC，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，
又∵DE⊥AB，
∴，∠OAC+∠AFH=90°，
∴∠OCA+∠PCF=90°即∠OCP=90°，
∴PC為⊙O的切線．

（2）連OD交AC于M，∵，
∴AC⊥OD，∴sin∠BAC==，
設(shè)OM為x，則OD=OA=3x，
∴DM=2x，在Rt△AOM中AM=x，
∴AD=x，又=，∠CAD=∠ADE，
∴sin∠ADE=sin∠CAD===．
分析：（1）先做出判斷，PC與⊙O的位置關(guān)系為相切，然后證明．方法是：連接OC，根據(jù)等邊對(duì)等角及對(duì)頂角相等，由PC=PF得到∠PCF=∠PFC=∠AFH，再由垂徑定理和DE與AB垂直得到與相等，且∠OAC+∠AFH=90°，由半徑OA與OC相等得到∠OAC與∠OCA相等，等量代換即可得到∠OCP=90°，從而得到PC為⊙O的切線；
（2）連接OD交AC于M，根據(jù)（1）得到與相等，得到AC與OD垂直，利用正弦函數(shù)定義表示出sin∠BAC，讓其值等于已知值，進(jìn)而得到OM和AO的關(guān)系，設(shè)出OM，表示出OA，在直角三角形AOM中，根據(jù)勾股定理表示出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)=，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CAD=∠ADE，在直角三角形DAM中，由正弦函數(shù)定義求出sin∠CAD的值，即為sin∠ADE的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查垂徑定理、切線的性質(zhì)和判定及圓周角定理的綜合運(yùn)用．證明切線的方法是：有點(diǎn)連接圓心與這點(diǎn)，證明夾角為直角；無(wú)點(diǎn)作垂直，證明垂線段長(zhǎng)等于半徑．