Question

如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，以E為圓心，EC為半徑的半圓與以A為圓心，AB為半徑的圓弧相外切F，若AB=4，
（1）求半⊙E的半徑r的長；
（2）求四邊形ADCE的面積；
（3）連接DB、DF，設∠BDF=α，∠AEC=β；求證：β-2α=90°．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABE中，AB=BC=AF=AD=DC=4，
BE=BC-CE=4-r，AE=BF+EF=4+r，
∵AE²=AB²+BE²，
∴（4+r）²=4²+（4-r）²，
解得：r=1，
答：半⊙E的半徑r的長是1．

（2）梯形ADCE的面積是S=DC（AD+CE）=×4×（4+1）=10，
答：四邊形ADCE的面積是10．

（3）證明：∵∠AEC是Rt△ABE的外角，
∴β=∠BAE+90°，
∵∠BDF=∠BAE，
∴α=∠BAE，
即∠BAE=2α，
∴β=2α+90°，
即β-2α=90°．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質求出AB、AE、BE的長，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）根據(jù)梯形的面積公式求出即可；
（3）根據(jù)三角形的外角性質求出β=∠BAE+90°，根據(jù)圓周角定理得出∠BDF=∠BAE，代入求出即可．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、勾股定理、正方形的性質、相切兩圓的性質等知識點，用的數(shù)學思想是方程思想，主要考查學生能否綜合運用定理進行計算，培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力．