Question

17．如圖，直線AB交雙曲線y=$\frac{k}{x}$于點(diǎn)A，B，交x軸于點(diǎn)C，連結(jié)OA，若OA⊥AB，tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，S_△OAC=12，則k的值為$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 作AD⊥OC于D，根據(jù)已知求得AD=2OD，然后根據(jù)勾股定理求得OA=$\sqrt{5}$OD，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求得S_△DOA=$\frac{12}{5}$，進(jìn)而根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值．

解答 解：作AD⊥OC于D，
∵∠OAC=∠ADO=90°，∠AOD=∠COA，
∴∠OAD=∠ACO，
∵tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠OAD=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2OD，
∴OA=$\sqrt{5}$OD，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\sqrt{5}$，
∵∠OAC=∠ADO=90°，∠AOD=∠COA，
∴△AOC∽△DOA，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△DOA}}$=（$\frac{OA}{OD}$）²=5，
∵S_△OAC=12，
∴S_△DOA=$\frac{12}{5}$，
∵S_△DOA=$\frac{1}{2}$|k|，k＞0，
∴k=2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，
故答案為$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，三角形相似的判斷和性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．