Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA為x軸，OC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，雙曲線y=

k

x

(x＞0)與AB、BC分別交于點D、E，沿直線DE將△DBE翻折得△DFE，且點F恰好落在直線OA上．若AB：BC=2：3，則矩形的面積是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：根據(jù)AB：BC=2：3，設(shè)AB=2t，BC=3t，表示出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)D、E分別為反比例函數(shù)與BC、AB的交點，得出D與E坐標(biāo)，根據(jù)直線DE將△DBE翻折得△DFE，且點F恰好落在直線OA上，得到BF垂直于DE，且BF中點在DE上，表示出DE的斜率，進(jìn)而確定出直線DE方程，利用兩直線垂直時斜率乘積為-1得出直線BF斜率，表示出直線BF方程，進(jìn)而表示出F坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式表示出BF中點坐標(biāo)，代入直線DE中整理表示出t²，即可確定出矩形的面積．

解答：解：根據(jù)AB：BC=2：3，設(shè)AB=2t，則有BC=3t，即A（3t，0），B（3t，2t），
∵E、D為反比例函數(shù)y=

k

x

與BC、BA的交點，
∴D（3t，

k

3t

），E（

k

2t

，2t），
∵直線DE將△DBE翻折得△DFE，且點F恰好落在直線OA上，
∴BF⊥DE，BF的中點在DE上，
∵直線DE的斜率為

2t- k 3t

k 2t -3t

=-

2

3

，方程為y-2t=-

2

3

（x-

k

2t

），
∴直線BF斜率為

3

2

，
∴直線BF解析式為y-2t=

3

2

（x-3t），即y=

3

2

x-

5

2

t，
令y=0，得到x=

5

3

t，即F（

5

3

t，0），
∴BF的中點坐標(biāo)為（

3t+ 5 3 t

2

，t），
將中點坐標(biāo)代入直線DE解析式得：t-2t=-

2

3

（

7

3

t-

k

2t

），
整理得：t²=

3

5

k，
則S_矩形=3t•2t=6t²=

18

5

k．
故答案為：

18

5

k

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，直線的點斜式方程，線段中點坐標(biāo)公式，以及對稱的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．