Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，點B的坐標(biāo)為（m，-2）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求S_△AOC的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）過A作AE⊥X軸于E，由tan∠AOE=

1

3

，得到OE=3AE，根據(jù)勾股定理即可求出AE和OE的長，即得到A的坐標(biāo)，代入雙曲線即可求出k的值，得到解析式；把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出B的坐標(biāo)，把A和B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出a、b的值，即得到答案；
（2）求出C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）過A作AE⊥x軸于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE，
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐標(biāo)為（3，1），
A點在雙曲線上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴雙曲線的解析式y(tǒng)=

3

x

．
B（m，-2）在雙曲y=

3

x

，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐標(biāo)是（-

3

2

，-2），
代入一次函數(shù)的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

．
故一次函數(shù)的解析式為：y=

2

3

x-1．

（2）∵y=

2

3

x-1，
當(dāng)y=0時，x=

3

2

，
∴C（

3

2

，0），
∴OC=

3

2

，
∴S_△AOC=

1

2

×

3

2

×1=

3

4

．
故S_△AOC的值

3

4

．

點評：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，勾股定理等知識點，綜合運(yùn)用這些知識進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．