【題目】(1)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分別是邊BC、CD上的點,且∠EAF=∠BAD.求證:EF=BE+FD;
(2)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點,且∠EAF=∠BAD,(1)中的結論是否仍然成立?
(3)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分別是邊BC、CD延長線上的點,且∠EAF=∠BAD,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請寫出它們之間的數(shù)量關系,并證明.
【答案】(1)證明見解析;(2)(2)(1)中的結論EF=BE+FD仍然成立;(3)結論EF=BE+FD不成立,應當是EF=BE﹣FD,證明見解析.
【解析】試題分析:(1)可通過構建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉換.延長EB到G,使BG=DF,連接AG.目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉換成GE,那么這樣EF=BE+DF了,于是證明兩組三角形全等就是解題的關鍵.三角形ABE和AEF中,只有一條公共邊AE,我們就要通過其他的全等三角形來實現(xiàn),在三角形ABG和AFD中,已知了一組直角,BG=DF,AB=AD,因此兩三角形全等,那么AG=AF,∠1=∠2,那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.由此就構成了三角形ABE和AEF全等的所有條件(SAS),那么就能得出EF=GE了.
(2)思路和作輔助線的方法與(1)完全一樣,只不過證明三角形ABG和ADF全等中,證明∠ABG=∠ADF時,用到的等角的補角相等,其他的都一樣.因此與(1)的結果完全一樣.
(3)按照(1)的思路,我們應該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉換.就應該在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG.根據(jù)(1)的證法,我們可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以(1)的結論在(3)的條件下是不成立的.
(1)延長EB到G,使BG=DF,連接AG.
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF,∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG.
∴EF=BE+FD
(2)(1)中的結論EF=BE+FD仍然成立.
(3)結論EF=BE+FD不成立,應當是EF=BE﹣FD.
證明:在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
∵AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=∠BAD.
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某教育工會為慶祝重陽節(jié)活動,在九月份組織退休職工到北京長城、故宮五日游,現(xiàn)聯(lián)系了青年旅行社、教育旅行社,兩家旅行社報價均為3000元/人,兩家旅行社同時都對10人以上的團體推出了優(yōu)惠舉措:青年旅行社對每位職工七五折優(yōu)惠;而教育旅行社是免去一位帶隊領導的費用,其余職工八折優(yōu)惠.
(1)如果設參加旅游的職工共有m(m>10)人,則甲旅行社的費用為 元,乙旅行社的費用為 元;(用含m的代數(shù)式表示,并化簡.)
(2)假如這個單位現(xiàn)組織包括帶隊領導在內(nèi)的共20名職工到北京旅游,該單位選擇哪一家旅行社比較優(yōu)惠?請說明理由.
(3)如果計劃在九月份外出旅游5天,設最中間一天的日期為m,則這5天的日期之和為 .(用含m的代數(shù)式表示,并化簡.)
(4)假如這五天的日期之和為70,則他們于九月幾號出發(fā).
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【題目】(2016貴州省畢節(jié)市第23題)為進一步發(fā)展基礎教育,自2014年以來,某縣加大了教育經(jīng)費的投入,2014年該縣投入教育經(jīng)費6000萬元。2016年投入教育經(jīng)費8640萬元。假設該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同。
(1)、求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率;
(2)、若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率,請你預算2017年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】能判定一個四邊形是菱形的條件是( )
A.對角線互相平分且相等
B.對角線互相垂直且相等
C.對角線互相垂直且對角相等
D.對角線互相垂直,且一條對角線平分一組對角
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用配方法解方程x2﹣6x=3,配方正確的是( 。
A. (x﹣3)2=0 B. (x﹣3)2=6 C. (x﹣3)2=9 D. (x﹣3)2=12
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2016廣西省南寧市第22題)在南寧市地鐵1號線某段工程建設中,甲隊單獨完成這項工程需要150天,甲隊單獨施工30天后增加乙隊,兩隊又共同工作了15天,共完成總工程的.
(1)求乙隊單獨完成這項工程需要多少天?
(2)為了加快工程進度,甲、乙兩隊各自提高工作效率,提高后乙隊的工作效率是,甲隊的工作效率是乙隊的m倍(1≤m≤2),若兩隊合作40天完成剩余的工程,請寫出a關于m的函數(shù)關系式,并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】質(zhì)量檢查員隨機抽取甲、乙、丙、丁四臺機器生產(chǎn)的20個乒乓球的直徑(規(guī)格是直徑4cm),整理后的平均數(shù)和方差如下表,那么這四臺機器生產(chǎn)的乒乓球既標準又穩(wěn)定的是( 。
機器 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
平均數(shù)(單位:cm) | 4.01 | 3.98 | 3.99 | 4.02 |
方差 | 0.03 | 2.4 | 1.1 | 0.3 |
A.甲B.乙C.丙D.丁
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