Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，∠ODB=30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線y=ax²-x+c與x軸相交于A、F兩點(diǎn)（A在F的右側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是上述拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若由點(diǎn)D、O、E、P構(gòu)成四邊形為梯形，則這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？試求出其中兩個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)B（0，2），
∴OB=2，
∵∠ODB=30°，
∴OD=OB•cot30°=2，
∵E為BD中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-，1），
∵拋物線y=ax²-x+c經(jīng)過B（0，2）、E（-，1），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+2；

（2）∵點(diǎn)B（0，2），D（-2，0），
∴直線BD的解析式為y=x+2，
∵點(diǎn)E（-，1），
∴直線OE的解析式為y=-x，
①EP∥OD時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，為1，
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴-x²-x+2=1，
解得x₁=-（為點(diǎn)E，舍去），x₂=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1），
②DP∥OE時(shí)，設(shè)直線DP的解析式為：y=-x+m，
則-×（-2）+m=0，
解得m=-2，
所以，直線DP的解析式為y=-x-2，
聯(lián)立，
解得，，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，），
③OP∥DE時(shí)，直線OP的解析式為y=x，
聯(lián)立，
解得，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，），
∴點(diǎn)P有5個(gè)，為P₁（，1），P₂（，），P₃（，），P₄（，），P₅（，）；

（3）令y=0，則-x²-x+2=0，
整理得，3x²+x+12=0，
解得x₁=-，x₂=，
∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側(cè)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），
過點(diǎn)E作EG⊥OD于G，∵點(diǎn)E（-，1），
∴OG=，EG=1，
∴AG=+=2，
在Rt△AEG中，AE===；
過點(diǎn)O作OK⊥AE于K，
則sin∠EAG==，
即=，
解得OK=，
cos∠EAG==，
即=，
解得AK=，
∵△OMN是等邊三角形，
∴KM=OK•cot60°=×=，
∴AM=AK+KM=+=，
或AM=AK-KM=-=．
分析：（1）解直角三角形求出OD的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BD、OE的解析式，然后分①EP∥OD時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線計(jì)算即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，②DP∥OE時(shí)，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出DP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；③OP∥DE時(shí)，先求出直線OP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；
（3）令y=0，利用拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，過點(diǎn)E作EG⊥OD于G，求出AG、EG，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AE的長(zhǎng)；過點(diǎn)O作OK⊥AE于K，利用∠EAG的正弦值列式求出OK，余弦值列式求出AK，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出KM的長(zhǎng)度，然后分點(diǎn)M在點(diǎn)K的左邊與右邊兩種情況解答．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，題目難度較大，且運(yùn)算量較大，需要分情況討論是最大的難點(diǎn)．