Question

△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且它們的速度相等．已知點(diǎn)P沿邊射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，設(shè)PQ與直線AC相交于點(diǎn)D，作PE⊥AC，垂足是E．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：2DE=AC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立在備圖中畫出圖形并證明．如不成立指出DE與AC的關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析：作QF⊥AC，交直線AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證△APE≌△CQF，可得AE=FC，PE=QF且PE∥QF，所以，四邊形PEQF是平行四邊形，即DE=

1

2

EF，等量代換得，DE=

1

2

AC，根據(jù)已知，即可得出DE的長(zhǎng)為定值．

解答：解：（1）證明：如圖1，作QF⊥AC，交直線AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
又∵PE⊥AC于E，
∴∠CFQ=∠AEP=90°，
∵點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°，
∴在△APE和△CQF中，

∠A=∠FCQ ∠AEP=∠CFQ=90° AP=CQ

，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+CF=EC+AE=AC，
∴DE=

1

2

AC，

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立．理由如下：
如圖2，作QF⊥AC，交直線AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EQ，PF．
同（1），推知△APE≌△CQF（AAS），
∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+CF=EC+AE=AC，
∴DE=

1

2

AC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，是解答本題的關(guān)鍵．