Question

目前，“低碳”已成為保護(hù)地球環(huán)境的熱門話題，某高科技發(fā)展公司投資500萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的低碳高科技產(chǎn)品，再投入資金1500萬(wàn)元作為固定投資．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件；銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)件，設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利為z（萬(wàn)元）．（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資），
（1）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明到第一年年底，當(dāng)z取最大值時(shí)，銷銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少？此時(shí)公司是盈利了還是虧損了？
（3）若該公司計(jì)劃到第二年年底獲利不低于1130萬(wàn)元，請(qǐng)借助函數(shù)的大致圖象說(shuō)明第二年的銷售單價(jià)x（元）應(yīng)確定在什么范圍？

Answer 1

解：（1）依題意知，當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少（x-100）萬(wàn)件，
∴y=20-（x-100）=-x+30，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+30．
由題意得：
z=y（x-40）-500-1500
=（30-x）（x-40）-500-1500
=-x²+34x-3200，
即z與x之間的函數(shù)關(guān)系是z=-x²+34x-3200．

（2）∵z=-x²+34x-3200，
=（x-170）²-310．
∴當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值，為-310，
即當(dāng)銷售單價(jià)為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬(wàn)元就可收回全部投資．

（3）第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年獲利為：
z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510．
當(dāng)z=1130時(shí)，即1130=-x²+34x-1510，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函數(shù)z=-x²+34x-1510的圖象大致如圖所示，

由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130．
故第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．
分析：（1）依題意當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少（x-100），則易求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而由題意易得Z與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（2）把z與x的關(guān)系式化簡(jiǎn)，得出當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值；即可得出公司是盈利了還是虧損；
（3）根據(jù)z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510=1130進(jìn)而得出當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130畫出圖象得出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法以及二次函數(shù)圖象等知識(shí)，根據(jù)已知得出z與x之間的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．